Teorema de triángulos semejantes~

              Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos* iguales y sus lados homólogos proporcionales. 
La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.
La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.

La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza

*Lados homólogos:
a y a', b y b', c y c'

*Aángulos homólogos:
A y A', B y B', C y C'

~Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

~Dos triángulos son semejantes si tiene los lados proporcionales.

~Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.

Teorema de Pitágoras~

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los lados menores del triángulo, los que forman el ángulo recto) 

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes 'a' y 'b' y la medida de la hipotenusa es 'c', se establece que:

 c²⁼ a² + b²

Teorema de Tales~

Cuando se habla de el teorema de Tales, se debe aclarar a cual nos referimos ya que existen dos teoremas atribuidos al matemático Tales de Mileto.

Primer teorema:

Se refiere a la construcción de un triángulo que sea semejante a otro existente (triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos)

El primer teorema recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber que:

'Si en un triángulo se raza una linea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.'

Segundo teorema:

El segundo teorema desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (los circuncentros se encuentran en el punto medio de la hipotenusa)

Clasificación de triángulos.~

Un triángulo es el polígono que resulta de unir tres puntos con lineas rectas.
Los triángulos podemos clasificarlos según dos criterios.

Según la medida de sus lados.

Equilátero.-
   Los tres lados (A,B,C) son iguales
   Los tres ángulos interiores son los mismos.

Isósceles.-
   Tienen dos lados iguales (A y B) y un lado distinto (C).
    Los ángulos A y B son iguales, y el otro ángulo es distinto.

Escaleno.-
    Los tres lados son distintos
    Los tres ángulos son distintos.

Según la medida de sus ángulos.

Acutángulo.- 

   Tienen los tres ángulos agudos (menos de 90°)

Rectángulo.-

   El ángulo interno A es recto (90°) y los otros dos son agudos 

   Los ángulos que forman el ángulo recto se llaman catetos (c y b), y el otro lado hipotenusa

Obtusángulo.-

   El ángulo interior A es obtuso (más de 90°)

   Los otros dos ángulos son agudos.

Congruencia de triángulos~

La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos presentan ángulos y lados de igual medida o congruentes.
Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma medida.

Los teoremas de congruencia son las condiciones mínimas que deben cumplir los triángulos para que sean congruentes, los cuales son:
*Caso LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales sus tres lados.

* Caso LAL: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus lados respectivos y el ángulo correspondiente entre ellos

*Caso ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus ángulos respectivos y el lado entre ellos.

Teoremas de ángulos~

Ángulos correspondientes.

Son ángulos que se encuentran en el mismo lado de la secante, un ángulo en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas.

 

Ángulos alternos internos.

 Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las rectas paralelas

Ángulos alternos externos.

Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas.

Teorema I: Dos ángulos adyacentes son suplementarios.

Teorema II: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Teorema III: Los ángulos consecutivos formados a un lado de una recta, suman 180°.

Teorema IV: La suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto, suman 360°.

Teorema V: Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos internos iguales.

Teorema VI: Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos externos iguales.

Teorema VII: Dos ángulos conjugados internos, entre paralelas, son suplementarios.

Teorema VIII: Los ángulos conjugados externos, entre paralelas, son suplementarios.

Teorema IX: Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en el mismo sentido, son iguales.

Teorema X: Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en sentido contrario, son iguales.

Teorema XI: Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, dos de ellos dirigidos en el mismo sentido, y los otros dos en sentido contrario, dichos ángulos son suplementarios.

Teorema XII: Dos ángulos agudos cuyos lados son respectivamente perpendiculares, son iguales.

Teorema XIII: Dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son suplementarios.

Teorema XIV: Dos ángulos obtusos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares, son iguales. 

Proposiciones matemáticas.~

Una proposición matemática es una expresión algebraica que puede tener dos valores, ser verdadera o ser falsa aunque nunca ambas cosa. La proposición es fundamental de la lógica matemática.

-La lógica matemática es la disciplina que trata métodos de razonamiento.

Ejemplos:

p: La tierra es plana. 

q: -17+38=21

r: x>y-9

r: Hola

w: Ven en este instante.

Los incisos p y q pueden tomar un valor falso y verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. Sin embargo los enunciados t y w no son validos ya que no pueden tomar valor falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.

Lugares geométricos (recta de Euler)

La recta de Euler de un triangulo es aquella que contiene el ortocentro, el circuncentro y el baricentro del mismo.

-Ortocentro: Es el punto de corte de las tres alturas. Este se expresa con la letra "H"

-Circuncentro: Es el punto de corte de las tres mediatrices. Este se expresa con la letra "O"

-Baricentro: Es el punto de corte de las tres medianas. Se expresa con la letra "G"

* Medianas: Las medianas de un triángulo son las rectas que unen el punto medio de un lado del triángulo con el vértice opuesto. 

* Mediatrices: Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares trazadas por los puntos medios de sus lados.

* Alturas: Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

Filósofos matemáticos y sus aportaciones.

Pitágoras de Samos.

(570 a.C-475 a.C) Filósofo y matemático griego considerado el primer matemático puro. Contribuyó de manera significativa en el avance de las matemáticas y la geometría. Demostró el famoso teorema de la relación de los lados del triángulo denominado Teorema de Pitágoras. 

René Descartes.

(1596 - 1650 ) Fue un filósofo, matemático y físico francés, considerado como el padre de la geometría analítica. La contribución más importante que hizo Descartes fue la sistematización de la Geometría Analítica. Fue el primer matemático que intentó desafiar las curvas conforme al tipo de ecuaciones. 

Arquímedes de Siracusa.

(287 a.C- 212 a.C) Arquímedes fue un matemático, considerado el más importante de los matemáticos de la antigüedad. Demostró que la circunferencia de un círculo mantiene la misma relación respecto de su diámetro que la superficie del círculo respecto del cuadrado del radio. La relación se denomina hoy en día como pi. (π)

Tales de Mileto.

(640 a.C-547 a.C). Se le atribuyen cinco teoremas geométricos y la resolución de dos problemas prácticos 

1) Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por su diámetro.

2) Los ángulos de la base de todo triángulo isósceles son iguales. 

3) Los ángulos opuestos por el vértice que se forman al cortarse dos rectas son iguales. 

4) Si dos triángulos tienen un lado y los dos ángulos adyacentes respectivamente iguales, entonces los triángulos son iguales. 

.5) Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto. 

Platón.

 El descubrimiento más importante de Platón puede haber sido que las matemáticas son la materia más importante para la humanidad. Él escribió que "la realidad que está buscando el pensamiento científico debe ser expresable en términos matemáticos, siendo las matemáticas el tipo más preciso y definido de pensamiento del que somos capaces".

Blaise Pascal.

(1623-1662).Fue un matemático, físico, filósofo y escritos francés. Sus contribuciones a las matemáticas incluyen el diseño y construcción de calculadoras mecánicas y aportes a la teoría de la probabilidad. 

Descubrió que la suma de los ángulos de un triangulo corresponden a dos ángulos rectos.